克雷研究所100万美元奖金要归AI了数学界规则大改,未来数学家如何应对「海量猜想」

愤怒的蜗牛

在数学的世界里,想要对「一个未经证实的猜想」进行完整的证明,往往需要天赋、直觉和经验的结合,即使是数学家也很难解释自己的发现过程。


然而,随着近几年大模型的崛起,我们共同见证了一种新的变革力量,AI不仅在预测椭圆曲线的复杂度上超越了人类,还在探索基本常数的新公式上取得了突破。


最近,伦敦数学科学研究所所长托马斯·芬克 (Thomas Fink) 在Nature的world view栏目发布了一篇文章,探讨了AI如何在数学领域中发挥其独特的作用,以及如何帮助数学家从猜想走向证明。


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文章链接:https://www.nature.com/articles/d41586-024-01413-w


数学数据的丰富性和独特性为AI的训练提供了肥沃的土壤:从素数到结理论,AI正在帮助我们发现数学对象之间的新联系。


例如,通过在线整数序列百科全书(OEIS),可以利用AI工具搜索近375,000个序列,寻找那些意想不到的关系,文中揭示了AI如何在数学数据的海洋中航行,发现那些人类尚未触及的宝藏。


不过,虽然AI在数学领域的应用前景广阔,但它并非万能。


正如G. H. Hardy在其1940年的论文《一个数学家的辩护》(A Mathematician’s Apology)中所言,一个好的定理应当是构成诸多数学结构的组成部分。


AI可以帮助我们发现模式和形成猜想,但区分这些猜想的重要性则需要数学家的直觉和对领域发展的深刻理解。


作者探讨了AI如何作为数学家创造力的催化剂,而非替代品,二者可以共同推动、扩展数学的边界。


托马斯·芬克 (Thomas Fink) 是伦敦数学科学研究所的研究员,该研究所是一家从事物理和数学研究的非营利机构。他正在与 BHI 合作研究可修复性和重组创新等主题,其研究兴趣主要包括离散动力学、复杂网络和生物学基本定律。


克雷研究所100万美元奖金要归AI了数学界规则大改,未来数学家如何应对「海量猜想」


数学+AI

在2017年,伦敦数学科学研究所的研究人员,其中包括我,作为所长,开始将机器学习技术作为一种探索尝试应用于数学数据分析,也标志着人工智能(AI)开始在数学领域的应用展开初步探索。


在COVID-19大流行期间,我们取得了一个意外的发现:简单的AI分类器能够预测椭圆曲线的秩(衡量椭圆曲线复杂性的一种方式)。


椭圆曲线是数论的基础,克雷数学研究所曾经在千禧年选出了七大数学难题,并为每个问题提供了100万美元的奖金,预测椭圆曲线就是解决这些问题的关键步骤,但在当时几乎没人看好AI能在数学领域发挥作用。


2021年,研究人员设计的拉马努金机为基本常数生成了新的公式,例如 π 和 e,模型通过详尽地搜索连分数族(families of continued fractions)来实现该算法,其中连分数是一种特殊的分数表示法,由无限多个分数层叠构成,每个分数的分母本身也是一个分数,形成了一个分母链。


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论文链接:https://www.nature.com/articles/s41586-021-03229-4


拉马努金机生成的一些公式已经被数学家证明是正确的,为数学领域增添了新的知识点,但并非所有的公式都得到了证明,一些公式仍然是数学界面临的未解决问题,等待着未来的数学家和AI技术去探索和解决。


结理论(knot theory)是拓扑学的一个领域,主要研究的是线条或绳子在空间中如何被扭曲和打结。在这个领域中,我们通常考虑一个理想化的绳子,它在两端被粘接起来,形成一个封闭的环。


最近,谷歌DeepMind的研究人员利用神经网络技术,对各种不同的结进行了数据分析,通过训练神经网络来识别和理解结的模式。


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论文链接:https://www.nature.com/articles/s41586-021-04086-x


最令人惊讶的是,模型发现了结的代数性质和几何形状之间存在一种之前尚不了解的联系,也就意味着,通过数学的代数和几何方法,我们能够更深入地理解结的结构及其性质,对于数学和物理学等领域的研究具有重要意义。


AI对数学领域的影响

数学是一门精确的科学,不接受任何偶然性(concidence),与现实世界中的实验不同,数学中的一个反例就足以推翻一个猜想。


例如,Pólya猜想曾认为,任何给定整数以下的大多数整数都有奇数个质因数,但这个猜想在1960年被证明是错误的,因为数字906,180,359并不满足这个条件,只需一个反例就被证伪了。


除此之外,数学领域的数据获取成本相对较低,因为数学对象如质数和结等是普遍存在的,例如,在线整数序列百科全书(OEIS)就收录了近375,000个序列,从广为人知的斐波那契序列到增长速度极快的Busy Beaver序列,科学家们已经开始使用机器学习工具来搜索OEIS数据库,寻找新的数学关系。


人工智能还可以帮助我们发现数学中的模式,并提出新的猜想。


但并非所有的猜想都同等重要,一个好的猜想应该能够推动我们对数学的理解,帮助我们构建更多的数学结构,并在证明不同类型的定理中发挥作用。


然而,要区分哪些猜想更有价值,需要对数学领域本身的发展有深刻的直觉和理解,对数学发展大局的把握,对于人工智能来说,可能在很长一段时间内都是难以实现的。


因此,尽管人工智能可以帮助我们发现模式和猜想,但在识别哪些猜想真正重要方面,它可能还有很长的路要走。


尽管对人工智能在数学领域应用的担忧存在,但AI的引入无疑为数学界带来了积极的影响,不仅能为数学研究提供关键的优势,还能开辟新的研究途径,激发创新思维。


数学期刊应当增加对数学猜想的发表量。历史上,许多重大的数学问题,如费马的最后定理、黎曼猜想等,以及许多不太为人所知的猜想,都极大地推动了数学领域的发展,这些猜想通过为研究者提供正确的研究方向,加速了数学研究的进程。


因此,发表有关猜想的期刊文章,尤其是那些有数据支持或启发性论证的文章,对于推动科学发现具有重要意义。


以谷歌DeepMind的研究为例,去年他们预测了220万种可能的新型晶体结构,但这些新材料的稳定性、合成可能性以及实际应用价值仍有待进一步的验证和研究,目前该工作还主要依赖于人类研究人员的专业知识和对材料科学广泛背景的理解。


此外,数学家们的想象力和直觉对于理解和解释AI工具产生的结果至关重要。

AI在这一过程中起到的是促进和激发人类创造力的作用,而不是取代人类,它更像是一个工具,帮助数学家们更快地探索未知领域,发现新的数学真理。


参考资料:

https://www.nature.com/articles/d41586-024-01413-w


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